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目次

第1章 ニュートン力学

  1.1 運動の概念

  1.2 力の概念と例

  1.3 ニュートンの運動方程式

  1.4 状態,相空間,因果律

  1.5 接バンドルとしての状態空間

  1.6 2点系

  1.7 N点系

  1.8 運動方程式からの一般的帰結

  1.9 多体系における保存則

第2章 変分原理とラグランジュ形式

  2.1 数学的準備

  2.2 汎関数の変分

  2.3 変分原理

  2.4 ラグランジュ関数に同伴する保存量

  2.5 オイラー-ラグランジュ方程式の座標表示

  2.6 オイラー-ラグランジュ方程式としてのニュートンの運動方程式

  2.7 停留曲線が極小曲線となる十分条件

  2.8 循環座標と保存則

  2.9 オイラー-ラグランジュ方程式の拡張

第3章 力学のハミルトン形式

  3.1 1点系におけるハミルトニアンとハミルトン方程式

  3.2 ハミルトン方程式の一般化(Ⅰ)

  3.3 ハミルトン相流

  3.4 自励系における体積の時間変化

  3.5 リウヴィルの定理と再帰定理

  3.6 ハミルトン方程式の一般化(Ⅱ)

  3.7 ラグランジュ形式との関連

  3.8 N体系のハミルトン方程式の単一化と余接バンドル

  3.9 ハミルトン形式の普遍的定式化

第4章 特殊相対性理論

  4.1 ミンコフスキー空間

  4.2 ミンコフスキー基底とローレンツ行列

  4.3 線形座標系とローレンツ座標系

  4.4 特殊相対性理論における時間と空間の発現

  4.5 ベクトルの分類

  4.6 時間的ベクトルの基本的性質

  4.7 分解定理

  4.8 ローレンツ写像群

  4.9 ミンコフスキー時空における質点の運動

第5章 古典電磁気学

  5.1 はじめに

  5.2 電磁ポテンシャルと古典電磁気学の基礎方程式

  5.3 ローレンツ座標系での基礎方程式の表示

  5.4 電磁ポテンシャルに対する方程式の解

  5.5 電磁場テンソル

  5.6 電場と磁場の発現およびマクスウェル方程式の導出

  5.7 電場と磁場からつくられるスカラー不変量

  5.8 電磁場と相互作用する荷電粒子の運動方程式

  5.9 変分原理

第6章 古典場の理論

  6.1 はじめに

  6.2 古典場の統一的記述形式

  6.3 変分原理(Ⅰ)-実場の場合

  6.4 変分原理(Ⅱ)-複素場の場合

  6.5 場の共役運動量とハミルトニアン

  6.6 対称性と保存則

  6.7 複素場と電磁場の相互作用-ゲージ場の理論

第7章 量子力学

  7.1 はじめに

  7.2 量子力学の公理系

  7.3 物理量の非可換性と不確定性関係

  7.4 複数の物理量の測定に関する公理

  7.5 量子系の自由度-有限自由度と無限自由度

  7.6 正準交換関係の表現

  7.7 角運動量代数

  7.8 ハミルトニアンの固有値問題が正確に解ける例:量子調和振動子

  7.9 CCRの表現に関する同値性の概念

付録A 写像と同値関係

  A.1 写像の全単射性に関する条件

  A.2 同値関係と同値類

付録B 代数的構造

  B.1 群

  B.2 変換群

  B.3 リー代数

  B.4 結合的代数

付録C ベクトル空間とアファイン空間

  C.1 基底と線形座標系

  C.2 基底の変換と座標変換

  C.3 線形作用素

  C.4 線形作用素の行列表示

  C.5 ベクトル空間の同型

  C.6 トレースと行列式

  C.7 固有値と固有ベクトル

  C.8 双対空間

  C.9 アファイン空間

付録D 計量ベクトル空間と計量アファイン空間

  D.1 ベクトル空間の計量

  D.2 計量ベクトル空間の同型

  D.3 直交系

  D.4 計量ベクトル空間の直和

  D.5 計量アファイン空間

  D.6 表現定理

  D.7 有限次元計量ベクトル空間における共役作用素

  D.8 ヒルベルト空間

  D.9 ベクトル場の連続性

付録E ベクトル解析

  E.1 曲線

  E.2 曲線の積分

  E.3 曲線の長さ

  E.4 スカラー場

  E.5 ベクトル場,発散,ラプラシアン

  E.6 無発散ベクトル場と保存則

  E.7 有限次元実内積空間における積分

付録F テンソル積

  F.1 定義

  F.2 対称テンソルと反対称テンソル

  F.3 反対称的内部積

  F.4 行列式の本質的特徴づけ

  F.5 ベクトル空間の向き

  F.6 テンソル空間の計量

  F.7 ホッジのスター作用素

  F.8 3次元ユークリッドベクトル空間におけるベクトル積と回転

  F.9 外積の微分法

付録G 微分形式の理論

  G.1 微分形式と外微分作用素

  G.2 微分形式に同伴する反対称反変テンソル場

  G.3 余微分作用素

  G.4 ラプラス-ベルトラミ作用素

付録H ポアソン方程式と非斉次波動方程式

  H.1 ポアソン方程式

  H.2 非斉次波動方程式

付録I ヒルベルト空間における線形作用素

  I.1 線形作用素

  I.2 拡大と閉作用素

  I.3 レゾルヴェントとスペクトル

  I.4 共役作用素

  I.5 対称作用素と自己共役作用素

  I.6 スペクトル測度,作用素解析,スペクトル定理

  I.7 自己共役作用素の強可換性

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