資料詳細

目次

1 はじめに-「微分を使って幾何学をする」ということ

  1.1 「微分を使って図形を調べる」ということ

  1.2 座標と幾何学

2 ユークリッド空間のベクトル値関数の微積分

  2.1 ユークリッド空間

  2.2 曲線に沿うベクトル場の微分

  2.3 曲面上の関数の微分

  2.4 曲面上のベクトル場の微分

  2.5 曲面上のベクトル場の積分

3 ユークリッド空間内の曲線

  3.1 ユークリッド平面内の曲線

  3.2 平面曲線論の基本定理

  3.3 ユークリッド空間内の曲線

  3.4 空間曲線論の基本定理

4 ユークリッド空間内の曲面

  4.1 ユークリッド空間内の曲面

  4.2 曲面のガウス写像

  4.3 曲面の基本方程式

  4.4 ガウスの方程式と“内在的な”幾何学

  4.5 曲面論の基本定理

5 ガウス曲率が一定である曲面

  5.1 等長的な曲面

  5.2 ガウス曲率が0である曲面

  5.3 ガウス曲率が正の定数である曲面

  5.4 ガウス曲率が負の定数である曲面

6 リーマン多様体としての曲面

  6.1 抽象的な曲面

  6.2 リーマン計量

  6.3 曲線の長さ

  6.4 平行性

  6.5 共変微分

  6.6 曲面の曲率

  6.7 抽象的な曲面の等長性

  6.8 ガウス曲率が一定である2次元リーマン多様体

  6.9 2次元リーマン多様体内の曲線

7 3次元リーマン多様体

  7.1 3次元リーマン多様体

  7.2 断面曲率が一定である3次元リーマン多様体

  7.3 3次元リーマン多様体内の曲面

8 2次元リーマン多様体の実現

  8.1 等長はめ込み

  8.2 3次元ユークリッド空間での実現

  8.3 4次元ユークリッド空間での実現

  8.4 断面曲率一定の3次元リーマン多様体での実現

9 曲率の積分

  9.1 平面曲線の曲率の積分

  9.2 ガウス曲率の積分-ガウス-ボンネの定理(1)

  9.3 ガウス曲率の積分-ガウス-ボンネの定理(2)

  9.4 ガウス曲率の絶対値の積分

  9.5 平均曲率の積分-ミンコフスキーの積分公式とその応用

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