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目次

第1章 楕円曲線と楕円モジュラー関数

  1.1 SL2(Z)と複素トーラスのモジュライ

  1.2 SL2(Z)の基本領域と生成元

  1.3 ワイエルストラス[ペー]関数と2重周期関数

  1.4 3次代数曲線論

  1.5 ワイエルストラス[ペー]関数による3次曲線の助変数表示

  1.6 楕円モジュラー関数j(τ)

  1.7 楕円モジュラー関数曼荼羅

第2章 SL2(Z)に関する保型形式概論

  2.1 保型形式の概念

  2.2 アイゼンシュタイン級数

  2.3 楕円曲線から導かれる保型形式,とくに判別式形式

  2.4 保型形式環M(Γ)

  2.5 デデキントのエータ関数

  2.6 アイゼンシュタイン級数E2(z)

  2.7 ゼータとテータ

  2.8 余興:楕円曲線のハッセ-ヴェイユL関数

第3章 合同部分群に関する保型形式

  3.1 概説と記号

  3.2 尖点

  3.3 合同部分群によって得られるリーマン面

  3.4 主合同部分群Γ(N)

  3.5 合同部分群に関する保型形式

  3.6 コンパクト・リーマン面概説

  3.7 リーマン-ロッホの定理概説

  3.8 合同部分群に対する次元公式

  3.9 Γ1(N)の基本領域と生成系

第4章 ヘッケ作用素と固有形式

  4.1 予備的考察

  4.2 ヘッケ写像

  4.3 ヘッケ作用素T(n)

  4.4 ヘッケ固有形式

  4.5 ディリクレ級数:L関数への準備

  4.6 L関数への反映

  4.7 2つの典型的なヘッケ固有形式の例

  4.8 合同部分群に関するヘッケ作用素:概説

第5章 ヤコビ・テータ関数

  5.1 定義と主要な定理

  5.2 ヤコビ・テータ関数に関する主要定理の証明

  5.3 ガウスの倍角公式

  5.4 ヤコビ・テータ関数の無限積表示とその応用

  5.5 一般指標のテータ関数とその変換公式

第6章 超幾何微分方程式から導かれる保型関数

  6.1 ガウス超幾何微分方程式

  6.2 超幾何微分方程式の解の表示

  6.3 接続公式および周回行列の明示

  6.4 ガウス超幾何微分方程式のシュワルツ写像

  6.5 一般化された超幾何関数

第7章 クラインの保型関数とその応用例

  7.1 ガウスの算術幾何平均定理とテータ零値についてのヤコビの公式

  7.2 Γ1(3)の保型関数

  7.3 Γ1(4)の保型形式とヘッケ作用素

  7.4 Γ(5)およびΓ1(5)のモジュラー関数と,5次方程式の解析的解法

  7.5 Γ1(6)のモジュラー関数

  7.6 Γ(7)とその部分群に関する各種の考察

第8章 超幾何保型関数と高次虚数乗法

  8.1 ヒルベルト類体と古典虚数乗法論

  8.2 総実体上の4元数環

  8.3 数論的三角群由来の4元数環における志村虚数乗法論

  8.4 単数群Δ(3,3,5)の場合の正準模型の明示式とその応用

  8.5 高次ヒルベルト類体の実例

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