資料詳細

目次

第Ⅰ部

1 曲線論・曲面論に必要な基本事項

  1.1 ベクトルと行列

  1.2 行列式とトレース

  1.3 等長変換と運動

  1.4 行列の指数関数

2 平面曲線

  2.1 平面曲線とは

  2.2 平面曲線のフレネ-セレ枠と曲率

  2.3 曲率円と曲がり方

  2.4 平面曲線の基本定理

3 平面曲線の性質

  3.1 閉曲線の回転数

  3.2 4頂点定理

  3.3 全曲率とフェンチェルの定理

4 空間曲線

  4.1 空間曲線のフレネ-セレ枠とフレネ-セレの公式

  4.2 空間曲線の基本定理

  4.3 曲率と捩率の公式

  4.4 空間曲線のフェンチェルの定理

5 曲面の位相

  5.1 集合と位相の復習

  5.2 曲面とは

  5.3 単体分割とオイラー数

  5.4 曲面の三角形分割

  5.5 曲面の連結和と位相的分類

  5.6 オイラー数と種数(1)

6 曲面の局所理論

  6.1 曲面の計量と第1基本形式

  6.2 第2基本形式

  6.3 曲面の曲がり方の導入

  6.4 オイラーの考えたガウス曲率

  6.5 測地的曲率と法曲率

  6.6 主曲率,ガウス曲率と平均曲率の計算

7 曲面の曲がり方

  7.1 曲面の形状とガウス曲率の符号

  7.2 座標変換

  7.3 面積要素と面積

  7.4 ガウス写像とワインガルテン写像

  7.5 計量ベクトル空間の対称変換

  7.6 定曲率曲面

8 古典的手法

  8.1 クリストッフェル記号

  8.2 曲面論の基本定理(1)

  8.3 添え字の法則

9 微分形式を用いて

  9.1 微分形式,外微分

  9.2 ポアンカレの補題

  9.3 正規直交動枠の導入

  9.4 接続と第1構造式

10 曲面論の基本定理

  10.1 曲面の第2構造式

  10.2 ガウスの驚愕定理

  10.3 マイナルディ-コダッチ方程式

  10.4 曲面論の基本定理(2)

11 ガウス-ボンネの定理

  11.1 線積分と面積分

  11.2 ストークスの定理

  11.3 ガウス-ボンネの定理(1)

  11.4 ガウス-ボンネの定理(2)

12 曲面上の曲線

  12.1 最短線と測地線

  12.2 最短線は測地線

  12.3 測地線は一つとは限らない

13 計量の幾何と双曲平面

  13.1 共変微分と測地線

  13.2 内在的性質,外来的性質

  13.3 双曲平面

  13.4 双曲平面の測地線

14 様々な幾何

  14.1 非ユークリッド幾何学

  14.2 三角形の内角の和

  14.3 リーマン幾何学

  14.4 ミンコフスキー空間

15 発展

  15.1 向き付け不可能な曲面

  15.2 向き付け不可能な閉曲面の分類

  15.3 オイラー数と種数(2)

  15.4 多様体とポアンカレ予想

第Ⅱ部

16 フビニ-スタディ計量

  16.1 球面の立体射影

  16.2 球面上の距離:フビニ-スタディ計量

  16.3 三角関数と双曲線関数

17 ポアンカレ計量

  17.1 ポアンカレ円板とケーリー変換

  17.2 回転双曲面と立体射影

  17.3 回転双曲面上の距離とポアンカレ計量

18 基本群と被覆空間

  18.1 単連結性と基本群

  18.2 被覆空間

  18.3 普遍被覆空間

  18.4 曲面の普遍被覆空間

  18.5 等長変換,共形変換,ケーベの一意化定理

  18.6 対称性と群作用

19 変分問題の導入

  19.1 測地線と変分問題

  19.2 極小曲面と変分問題

  19.3 調和写像と変分問題

付録

  A.1 曲線の長さ

  A.2 固有値,実対称行列,2次形式

  A.3 平坦領域の勾配ベクトル場と発散定理

  A.4 曲面上の発散定理

  A.5 ガウス-コダッチ方程式の別証明

  A.6 可積分系理論への入り口

ページの先頭へ