資料詳細

目次

第1章 楕円関数の2重周期性と楕円曲線

  1.1 三角関数と楕円関数

  1.2 振り子の運動と楕円関数

  1.3 3次曲線と楕円関数の周期性

  1.4 三角関数の加法定理と3次曲線の加法

  1.5 楕円関数の加法定理

  1.6 楕円曲線を複素数で考える

  1.7 楕円関数と二つの周期

  1.8 複素積分と楕円関数

  章末問題

第2章 複素関数論からの準備

  2.1 正則関数

  2.2 コーシーの積分定理とコーシーの積分公式

  2.3 正則関数の解析接続

  2.4 対数関数と平方根の一意化リーマン面

  2.5 複素領域上の有理型関数

  章末問題

第3章 リーマン面の定義と正則関数

  3.1 リーマン面の定義

  3.2 平面曲線

  3.3 超楕円曲線

  3.4 正則関数と有理型関数

  3.5 微分形式の型と正則微分形式,有理型微分形式

  3.6 正則微分形式の例(超楕円曲線の場合)

  3.7 正則微分形式の例(平面曲線の場合)とポアンカレ留数

  3.8 位相空間のホモロジー

  3.9 微分形式とコーシーの積分定理

第4章 層とそのコホモロジー

  4.1 正則関数の環,収束べき級数の環,イデアルの例

  4.2 前層と層

  4.3 帰納極限

  4.4 層の茎と層化

  4.5 加群の層の準同型の核,余核

  4.6 層のコホモロジーと長完全列

  4.7 層のテンソル積,順像と逆像

  章末問題

第5章 正則ベクトル束とリーマン面上の有理関数

  5.1 正則ベクトル束と局所自由Ox加群

  5.2 ドルボーの補題

  5.3 1の分解とチェック・コホモロジー

  5.4 ドルボー・コホモロジーの有限次元性

  5.5 正則直線束と因子群,因子類群

  5.6 リーマン-ロッホの定理と有理型関数の存在

  5.7 リーマン面の正則写像と分岐

  5.8 コンパクト・リーマン面の有理型関数

  章末問題

第6章 セールの双対定理

  6.1 可換環上の自由加群とその双対加群

  6.2 双対ベクトル束と自然な双一次形式

  6.3 射影直線上の直線束のコホモロジー

  6.4 グロタンディークの定理と射影直線上のセールの双対定理

  6.5 層の順像,逆像,射影公式

  6.6 セールの双対定理の証明

  6.7 リーマン-ロッホの定理の書き換えと応用

  章末問題

第7章 コンパクト・リーマン面と代数曲線

  7.1 フルビッツの定理

  7.2 位相空間としてのリーマン面の種数

  7.3 複素平面曲線の種数

  7.4 コンパクト・リーマン面の射影空間への埋め込み

  章末問題

第8章 周期積分,ヤコビ多様体とアーベルの定理

  8.1 ポアンカレの補題とド・ラムの定理

  8.2 リーマン面のトポロジー,交叉形式と微分形式の外積

  8.3 シンプレクティックな基底とリーマンの2次関係式

  8.4 周期格子,ヤコビ多様体とピカール群

  8.5 アーベルの定理とアーベル-ヤコビ写像

  章末問題

第9章 アーベル多様体

  9.1 偏極ホッジ構造とアーベル多様体

  9.2 主偏極ホッジ構造の周期とテータ関数

  9.3 アーベル多様体の射影埋め込み

  9.4 超楕円曲線のヤコビ多様体

  9.5 ヒッチン理論に向けて

  章末問題

第10章 周期積分と微分方程式

  10.1 ルジャンドルの楕円積分

  10.2 接続と微分方程式

  10.3 リーマン面の複素解析族

  10.4 層の複体とハイパー・コホモロジー

  10.5 相対正則ド・ラム複体,相対ポアンカレの補題

  10.6 ガウス-マニン接続

  10.7 ガウスの超幾何関数と周期積分

  章末問題

第11章 楕円曲線と保証形式

  11.1 ラマヌジャンと分割数とラマヌジャン関数

  11.2 楕円曲線と平面3次曲線

  11.3 3次曲線の不変量

  11.4 楕円曲線の周期格子

  11.5 保型形式とj不変量

  11.6 最後に-有限体上の楕円曲線と志村-谷山予想

  章末問題

付録A 環と加群の基本事項

  A.1 環とその上の加群

  A.2 PID(主イデアル整域)と離散付値環

  A.3 体とその拡大

付録B 多様体と微分形式

  B.1 C∞多様体とC∞写像

  B.2 微分形式

  B.3 ポアンカレの双対定理と双一次形式

付録C ホモロジー代数

  C.1 複体

  C.2 連結準同型と複体の長完全列

  C.3 二重複体と全複体

付録D 楕円型作用素のフレドホルム性

  D.1 主定理とその証明に使われる命題

  D.2 命題を仮定した定理の証明

  D.3 周期的関数とソボレフ・ノルム

  D.4 多様体上のソボレフ・ノルムに関する定理

  D.5 楕円型評価

  D.6 楕円型偏微分方程式に関する正則性定理(命題D.6の証明)

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