資料詳細

目次

序章

  0.1 地球を測る

  0.2 球面上の幾何学

  0.3 合同変換

第1章 曲線の曲率

  1.1 平面曲線のパラメータ表示

  1.2 平面曲線の曲率

  1.3 空間曲線の曲率と捩率

第2章 曲面の計量と曲率

  2.1 2変数関数の微分

  2.2 曲面のパラメータ表示と計量

  2.3 曲面の法線ベクトルと曲面積

  2.4 ガウス曲率と平均曲率

  2.5 ガウス写像と曲率

  2.6 ガウス曲率が一定の曲面

  2.7 極小曲面

第3章 曲面上の幾何学

  3.1 曲面上の測地線の方程式

  3.2 ベクトル場の共変微分と平行移動

  3.3 平面領域の微分形式とその外微分

  3.4 ガウスの基本定理とその証明

  3.5 ガウス・ボンネの定理

  3.6 平行移動とガウス曲率

第4章 平面幾何から非ユークリッド幾何学へ

  4.1 ユークリッド『原論』

  4.2 非ユークリッド幾何学の発見

  4.3 内在的幾何学

第5章 双曲幾何学

  5.1 双曲面とポアンカレ円板

  5.2 双曲幾何学の上半平面モデル

  5.3 双曲平面の等長変換

  5.4 測地三角形の面積

  5.5 双曲平面の三角法

  5.6 非ユークリッド幾何学のモデル

第6章 変換群と時空の幾何学

  6.1 ガリレイ変換

  6.2 ローレンツ変換

  6.3 特殊相対論

第7章 多様体への入門

  7.1 可微分多様体の定義

  7.2 多様体の接空間

  7.3 多様体上の写像の微分

  7.4 多様体上のベクトル場

  7.5 リーマン計量

  7.6 変換群と被覆空間

第8章 多様体上の微分形式

  8.1 Rnの領域上の微分形式

  8.2 多様体の接ベクトル束

  8.3 ベクトル束

  8.4 徴分形式とその外微分

  8.5 微分形式の性質

  8.6 多様体のコホモロジーとストークスの定理

第9章 接続と共変微分

  9.1 ベクトル場の共変微分

  9.2 ベクトル束の接続

  9.3 テンソル場とその共変微分

  9.4 一般リーマン多様体の接続

  9.5 平行移動と測地線

第10章 多様体の曲率テンソル

  10.1 リーマン曲率テンソル

  10.2 ベクトル束の曲率形式

  10.3 2次元リーマン多様体のガウス曲率

  10.4 断面曲率

  10.5 リッチ曲率とスカラー曲率

  10.6 ビアンキ等式とアインシュタインテンソル

  10.7 部分多様体の曲率

  10.8 ヤコビ場とその応用

  10.9 定曲率多様体

第11章 トポロジーと幾何構造

  11.1 曲面の幾何構造

  11.2 幾何構造のモデル

  11.3 サーストンの幾何化予想

第12章 宇宙空間の幾何学に向けて

  12.1 アインシュタインの重力場方程式

  12.2 シュバルツシルト計量

  12.3 ブラックホールの幾何学

  12.4 フリードマンモデル

  12.5 重力レンズと特異点理論

付録:基礎事項のまとめ

  A.1 双線型形式,テンソル積など

  A.2 位相空間と距離空間

  A.3 群の定義と基本的な概念

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