資料詳細

目次

第1章 素数の列(1)

  1.1 整数の整除

  1.2 素数

  1.3 整数論の基本定理

  1.4 素数の列

  1.5 素数についての問題

  1.6 いくつかの記号

  1.7 対数関数

  1.8 素数定理

第2章 素数の列(2)

  2.1 ユークリッドの第2定理の証明

  2.2 ユークリッドの論法からさらに推論されること

  2.3 ある等差数列における素数

  2.4 ユークリッドの定理の第2の証明

  2.5 フェルマー数とメルセンヌ数

  2.6 ユークリッドの定理の第3の証明

  2.7 素数公式に関する他の結果

  2.8 素数に関する未解決問題

  2.9 整除の法

第3章 ファレイ数列とミンコフスキーの定理

  3.1 ファレイ数列の定義ともっとも簡単な性質

  3.2 2つの特徴的な性質の同値性

  3.3 定理28と定理29の第1の証明

  3.4 定理の第2の証明

  3.5 格子

  3.6 基本格子の簡単な性質

  3.7 定理28よび定理29の第3の証明

  3.8 連続体のファレイ分割

  3.9 ミンコフスキーの定理

第4章 無理数

  4.1 概要

  4.2 無理数であることが知られている数

  4.3 ピュタゴラスの定理とその一般化

  4.4 定理43-45の証明への基本定理の利用

  4.5 歴史的な余談

  4.6 [ルート5]が無理数であることの幾何学的証明

  4.7 その他の無理数

第5章 合同式と剰余

  5.1 最大公約数と最小公倍数

  5.2 合同式と剰余類

  5.3 合同式の基本的性質

  5.4 1次合同式

  5.5 オイラーの関数φ(m)

  5.6 定理59と61の三角和への応用

  5.7 一般的な定理

  5.8 正17角形の作図

第6章 フェルマーの定理とその帰結

  6.1 フェルマーの定理

  6.2 2項係数の性質

  6.3 定理72の第2の証明

  6.4 定理22の証明

  6.5 平方剰余

  6.6 定理79の特別な場合:ウィルソンの定理

  6.7 平方剰余と非剰余の基本性質

  6.8 a(mod m)の位数

  6.9 フェルマーの定理の逆

第7章 合同式の一般的性質

  7.1 合同式の根

  7.2 整多項式と恒等合同式

  7.3 mを法とする多項式の整除

  7.4 素数を法とする合同式の根

  7.5 一般的な定理の応用

  7.6 フェルマーの定理とウィルソンの定理のラグランジュによる証明

  7.7 {1/2(p-1)}!の剰余

  7.8 ウルステンホルムの定理

  7.9 フォン・シュタウトの定理

第8章 合成数を法とする合同式

  8.1 1次合同式

  8.2 高次合同式

  8.3 素数のベキを法とする合同式

  8.4 例

  8.5 バウアーの恒等合同式

  8.6 バウアーの合同式,p=2の場合

  8.7 ロイデスドルフの定理

  8.8 バウアーの定理からさらにわかること

  8.9 2[p-1]と(p-1)!のp[2]を法とする剰余

第9章 数の小数による表現

  9.1 与えられた数に付随した小数

  9.2 有限小数と循環小数

  9.3 他の新法における数の表現

  9.4 小数により定義される無理数

  9.5 整除性の判定

  9.6 最長の循環節をもつ少数

  9.7 バシェのおもりの問題

  9.8 ニムのゲーム

  9.9 現れない数字がある整数

第10章 連分数

  10.1 有限連分数

  10.2 連分数の中間近似分数

  10.3 正の商を持つ連分数

  10.4 単純連分数

  10.5 既約分数の単純連分数表示

  10.6 連分数アルゴリズムとユークリッドのアルゴリズム

  10.7 連分数とその中間近似分数の差

  10.8 無限単純連分数

  10.9 無理数の無限連分数表示

第11章 無理数の有理数による近似

  11.1 問題提起

  11.2 問題に関する概論

  11.3 ディリクレの議論

  11.4 近似の位数

  11.5 代数的数と超越数

  11.6 超越数の存在

  11.7 リューヴィルの定理と超越数の構成

  11.8 任意の無理数に対する最良近似の限界

  11.9 連分数の中間近似分数に関するもう1つの定理

第12章 k(1),k(i),k(ρ)における整数論の基本定理

  12.1 代数的数と代数的整数

  12.2 有理整数,ガウス整数,k(ρ)の整数

  12.3 ユークリッドのアルゴリズム

  12.4 k(1)における基本定理へのユークリッドのアルゴリズムの応用

  12.5 ユークリッドのアルゴリズムと基本定理への歴史的注意

  12.6 ガウス整数の性質

  12.7 k(i)の素数

  12.8 k(i)における整数論の基本定理

  12.9 k(ρ)の整数

第13章 ディオファントス方程式

  13.1 フェルマーの最終定理

  13.2 方程式x[2]+y[2]=z[2]

  13.3 方程式x[4]+y[4]=z[4]

  13.4 方程式x[3]+y[3]=z[3]

  13.5 方程式x[3]+y[3]=3z[3]

  13.6 有理数を有理数の3乗の和で表すこと

  13.7 方程式x[3]+y[3]+z[3]=t[3]

第14章 2次体(1)

  14.1 代数体

  14.2 代数的数と代数的整数,原子多項式

  14.3 一般の2次体k([ルートm])

  14.4 単数と素数

  14.5 k([ルート2])の単数

  14.6 基本定理が成り立たない体

  14.7 虚ユークリッド体

  14.8 実ユークリッド体

  14.9 実ユークリッド体(続き)

第15章 2次体(2)

  15.1 k(i)の素数

  15.2 k(i)におけるフェルマーの定理

  15.3 k(ρ)の素数

  15.4 k([ルート2])とk([ルート5])の素数

  15.5 リュカによるメルセンヌ数M4n+3の素数判定

  15.6 2次体の整数論についての一般的注意

  15.7 2次体のイデアル

  15.8 他の体

第16章 数論的関数φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n)

  16.1 関数φ(n)

  16.2 定理63の別証明

  16.3 メービウス関数

  16.4 メービウスの反転公式

  16.5 別の反転公式

  16.6 ラマヌジャンの和の評価

  16.7 関数d(n)とσk(n)

  16.8 完全数

  16.9 関数r(n)

第17章 数論的関数の母関数

  17.1 ディリクレ級数による数論的関数の生成

  17.2 ゼータ関数

  17.3 ζ(s)のs→1のときの挙動

  17.4 ディリクレ級数の積

  17.5 いくつかの特別な数論的関数の母関数

  17.6 メービウスの公式の解析的解釈

  17.7 関数Λ(n)

  17.8 その他の母関数の例

  17.9 r(n)の母関数

第18章 数論的関数の大きさの位数

  18.1 d(n)の位数

  18.2 d(n)の平均位数

  18.3 σ(n)の位数

  18.4 φ(n)の位数

  18.5 φ(n)の平均位数

  18.6 無平方数の個数

  18.7 r(n)の位数

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