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目次

第1章 ベクトル解析におけるストークスの定理・変分公式

  1.1 ベクトル空間とアフィン空間

  1.2 内積・外積・ユークリッド計量

  1.3 ベクトル値関数の微分・偏微分

  1.4 スカラー場・ベクトル場の線積分

  1.5 勾配ベクトル場・回転・発散

  1.6 長さ汎関数とエネルギー汎関数の変分公式

  1.7 ユークリッド空間内の曲線の曲率・フルネ枠

  1.8 グリーンの定理

  1.9 超曲面

第2章 超曲面論における変分公式とガウス・ボンネの定理

  2.1 超曲面上の接ベクトル場

  2.2 超曲面上のk次共変テンソル場・(1,k)次テンソル場

  2.3 第2基本形式・形作用素

  2.4 平行移動・測地線

  2.5 向き付けられた超曲面上の曲線の曲率・フルネ枠

  2.6 超曲面論における体積汎関数の第1変分公式・第2変分公式

  2.7 曲面上の1次微分形式に対するストークスの定理

  2.8 ガウス・ボンネの定理(局所版)

  2.9 曲面論におけるガウス・ボンネの定理

第3章 微分幾何学におけるストークスの定理・ガウスの発散定理

  3.1 多様体

  3.2 Cr写像

  3.3 接ベクトル

  3.4 写像の微分

  3.5 臨界点,およびその指数

  3.6 はめ込み・沈め込みと陰関数定理

  3.7 ベクトル場と局所1パラメーター変換群

  3.8 テンソル場・微分形式

  3.9 多様体の向き

第4章 微分幾何学における体積汎関数の変分公式

  4.1 平行移動・測地線・指数写像

  4.2 リーマン距離関数

  4.3 曲率テンソル場

  4.4 実ベクトルバンドルの接続と曲率テンソル場

  4.5 測地変形とヤコビ場

  4.6 リーマン部分多様体論

  4.7 体積汎関数の第1変分公式・第2変分公式

第5章 微分幾何学におけるガウス・ボンネの定理

  5.1 特異コホモロジー群,CWコホモロジー群,ド・ラームコホモロジー群

  5.2 ド・ラームの定理

  5.3 モース理論

  5.4 リー群作用

  5.5 ファイバーバンドル

  5.6 偶数次元閉リーマン部分多様体に対するガウス・ボンネ型定理

第6章 特性類とガウス・ボンネの定理

  6.1 リー群の無限小モデルとしてのリー代数

  6.2 リー群とリー代数の随伴表現

  6.3 主バンドルの接続と曲率形式

  6.4 G構造とG接続

  6.5 連続バンドルの分類定理と特性類

  6.6 チャーン・ヴェイユ理論とガウス・ボンネの定理

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