目次

1 学び問うために-なぜ数学か?-

  1.1 本書の目標

  1.2 広い世界を知る

  1.3 深い世界を探る

  1.4 工学と数学

  c.1 オイラーへのデカルトの影響,レオナルドの無影響

2 関数-その豊かな世界-

  2.1 関数の実例

  2.2 関数の解析

  2.3 関数の素朴な定義

  2.4 基礎となる関数

3 無限級数-高等解析の基礎-

  3.1 多項式関数の変形

  3.2 無限級数への拡張

  3.3 等式の成立範囲

  3.4 級数の収束

  3.5 関数の特異点

  3.6 具体的な無限級数

  c.2 微分積分学誕生とデカルトの『幾何学』

4 解析関数-結ばれる超越関数-

  4.1 微分と解析関数

  4.2 オイラーの公式

  4.3 対数関数の拡張

5 複素関数-豊かな視点-

  5.1 無限級数からの広がり

  5.2 ローラン展開

  5.3 微分・積分と展開係数

  5.4 多彩な級数

  c.3 オイラーとリーマンのゼータ関数

6 線形写像-普遍化された比例-

  6.1 級数たちの基礎

  6.2 級数の類似点と相違点

  6.3 線形空間の定義

  6.4 線形空間としての関数の集合

  6.5 数ベクトルと行列による表示

7 線形変換-可能性の空間-

  7.1 比例と分割

  7.2 線形変換と基底

  7.3 線形写像の合成

  7.4 固有値と固有ベクトル

  c.4 レオナルド・デカルト・オイラーの星たち

8 行列の標準化-部分空間の和-

  8.1 科学の基礎

  8.2 上三角行列

  8.3 基底の選択

9 座標変換-無数の基底-

  9.1 幾何と座標

  9.2 座標と基底

  9.3 基底と表現行列

  9.4 複素数体上の線形写像の例

  c.5 デカルト『幾何学』における座標

10 微分と行列-ジョルダン行列の応用-

  10.1 近代哲学の父

  10.2 微分演算による写像

  10.3 線形微分方程式

11 微分方程式-無限級数の応用-

  11.1 高等数学の有用性

  11.2 高階線形常微分方程式Ⅰ

  11.3 高階線形常微分方程式Ⅱ

  11.4 オイラー・マクローリン法

  c.6 二人の公女,女王と女帝

12 無限解析-多彩な級数-

  12.1 オイラー・マクローリン法の応用

  12.2 ベルヌーイ多項式

  12.3 部分積分法による証明

  12.4 微分方程式の近似解

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