目次

第1章 予備的な話題のポプリ

  1.1 定義,公理,そして証明とは何だろうか?

  1.2 生活の指針とすべき数学的信条

  1.3 数理論理学と証明の技巧をほんの少し

  1.4 集合論をほんの少し

  1.5 関数

  1.6 同値関係

  1.7 数学的帰納法

  1.8 数論をほんの少し

  1.9 組合せ論をほんの少し

第2章 群-第1部

  2.1 群への導入

  2.2 抽象群

  2.3 群のおもしろい例

  2.4 群準同型写像

  2.5 部分群,剰余類,ラグランジュの定理

  2.6 群の積

第3章 環-第1部

  3.1 環への導入

  3.2 抽象的な環と環準同型写像

  3.3 環のおもしろい例

  3.4 重要で特別な環

  3.5 単元群と環の積

  3.6 イデアルと剰余環

  3.7 素イデアルと極大イデアル

第4章 ベクトル空間-第1部

  4.1 ベクトル空間への導入

  4.2 ベクトル空間と線形変換

  4.3 ベクトル空間のおもしろい例

  4.4 基底と次元

第5章 体-第1部

  5.1 体への導入

  5.2 抽象的な体と準同型写像

  5.3 体のおもしろい例

  5.4 部分体と拡大体

  5.5 多項式環

  5.6 拡大体の構成

  5.7 有限体

第6章 群-第2部

  6.1 正規部分群と剰余群

  6.2 集合への群作用

  6.3 軌道固定部分群の数え上げ定理

  6.4 シローの定理

  6.5 2つの数え上げ補題

  6.6 両側剰余類とシローの定理

第7章 環-第2部

  7.1 既約元と一意分解整域

  7.2 ユークリッド整域と単項イデアル整域

  7.3 単項イデアル整域での因子分解

  7.4 中国の剰余定理

  7.5 分数体

  7.6 多変数多項式と対称式

第8章 体-第2部

  8.1 代数的数と超越数

  8.2 多項式の根と乗法的な部分群

  8.3 分解体,分離性,既約性

  8.4 有限体再訪

  8.5 ガウスの補題とアイゼンシュタインの既約性判定法

  8.6 定規とコンパスによる作図

第9章 ガロア理論:体+群

  9.1 ガロア理論とは何か?

  9.2 多項式と体の拡大の復習

  9.3 代数的数の体

  9.4 代数閉体

  9.5 体の自己同型写像

  9.6 分解体-第1部

  9.7 分解体-第2部

  9.8 原始元定理

  9.9 ガロア拡大

第10章 ベクトル空間-第2部

  10.1 ベクトル空間の準同型写像(またの名を線形写像)

  10.2 自己準同型写像と自己同型写像

  10.3 線形写像と行列

  10.4 部分空間と剰余空間

  10.5 固有値と固有ベクトル

  10.6 行列式

  10.7 行列式,固有値,特性多項式

  10.8 無限次元ベクトル空間

第11章 加群-第1部:環+ベクトルのようなものの空間

  11.1 加群とは何か?

  11.2 加群の例

  11.3 部分加群と剰余加群

  11.4 自由加群と有限生成加群

  11.5 準同型写像,自己準同型写像,行列

  11.6 ネーター環と加群

  11.7 ユークリッド整域に成分を持つ行列

  11.8 ユークリッド整域上の有限生成加群

  11.9 構造定理の応用

第12章 群-第3部

  12.1 置換群

  12.2 ケーリーの定理

  12.3 単純群

  12.4 組成列

  12.5 自己同型群

  12.6 半直積

  12.7 有限アーベル群の構造

第13章 加群-第2部:多重線形代数

  13.1 多重線形写像と多重線形形式

  13.2 対称ならびに交代形式

  13.3 自由加群上の交代形式

  13.4 行列式写像

第14章 追加の話題を手短に

  14.1 可算集合と非可算集合

  14.2 選択公理

  14.3 テンソル積と多重線形代数

  14.4 可換代数

  14.5 圏論

  14.6 グラフ理論

  14.7 表現論

  14.8 楕円曲線

  14.9 代数的整数論

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