目次

第1章 微分方程式およびその数値解法とデータサイエンス

  1.1 微分方程式とデータサイエンス

  1.2 本書で扱う微分方程式の数値計算

  1.3 本書の構成

第2章 常微分方程式とその数値解法

  2.1 常微分方程式の初期値問題

  2.2 Runge-Kutta法

  2.3 構造保存数値解法

  2.4 ハミルトン系と勾配系に対する構造保存解法

  2.5 合成解法

  2.6 分解解法

  2.7 Stiefel多様体上の微分方程式に対する数値解法

第3章 随伴法

  3.1 問題設定

  3.2 随伴法

  3.3 シンプレクティック随伴法

  3.4 2次の随伴法とその離散版

  3.5 数値実験

第4章 動的低ランク近似

  4.1 行列の低ランク近似

  4.2 本章で用いる記号の定義

  4.3 動的低ランク近似

  4.4 動的低ランク近似のẎ(t)の表現

  4.5 動的低ランク近似の微分方程式表現の離散化

  4.6 数値実験

  4.7 離散化のロバスト性

  4.8 関連する話題

第5章 最適化

  5.1 最適化手法と常微分方程式

  5.2 代表的な常微分方程式1:最急降下ODE

  5.3 最急降下ODEの収束レート

  5.4 最急降下法の収束レート

  5.5 安定性の高い陽的解法による最適化手法

  5.6 代表的な常微分方程式2:Nesterov ODE

  5.7 Nesterov ODEの収束レート

  5.8 加速勾配法の線形多段階法としての解釈

  5.9 種々の数値解法の適用例

第6章 モデル縮減

  6.1 モデル縮減の基本的な考え方

  6.2 Galerkin射影

  6.3 POD(固有直交分解)

  6.4 誤差評価

  6.5 演算量

  6.6 離散型経験的補間法:DEIM

  6.7 KdV方程式を通した縮減モデルの理解

  6.8 構造保存モデル縮減

第7章 微分方程式の数値計算の不確実性定量化

  7.1 微分方程式のパラメータや初期値の推定

  7.2 微分方程式の数値計算の誤差が推定に与える影響

  7.3 微分方程式の数値計算の誤差の定量的評価手法の概略

  7.4 非確率的手法:単調回帰

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