目次

第1章 順序数とはなにか?

  1.1 イントロダクション

  1.2 きっかけ

  1.3 数学的帰納法について考える

  1.4 整列集合と数学的帰納法

  1.5 再帰的定義について考える

  1.6 整列集合と再帰的定義

  1.7 順序数

  1.8 まとめ

第2章 順序数の性質と使い方

  2.1 イントロダクション

  2.2 おさらい

  2.3 順序数の例と基本的な性質

  2.4 「長い」数学的帰納法・再帰的定義とその応用

  2.5 まとめ

第3章 集合とクラス

  3.1 イントロダクション

  3.2 おさらい

  3.3 順序数全体というあつまり

  3.4 集合全体というあつまり

  3.5 「定義可能である」は数学の条件?

  3.6 集合論の公理系に至るまで

  3.7 集合論の公理系ZFCと分出公理

  3.8 新しい記号を用いた定義拡張

  3.9 集合とクラス

第4章 置換公理

  4.1 イントロダクション

  4.2 おさらい

  4.3 置換公理

  4.4 置換公理と順序数ω1

  4.5 置換公理と基数

  4.6 集合の濃度

  4.7 置換公理は本当に必要なのか?

  4.8 まとめ

第5章 正則性公理

  5.1 イントロダクション

  5.2 おさらい

  5.3 整列集合から整礎集合へ

  5.4 整礎集合から整礎クラスへ

  5.5 正則性公理

  5.6 累積された階層(Vα|α[ゾクスル]Ord)

  5.7 集合のランク

  5.8 正則性公理はなぜ公理なのか?

  5.9 まとめ

第6章 集合のランクの使い方

  6.1 イントロダクション

  6.2 おさらい

  6.3 編集部の方からのコメント

  6.4 クラスの商とスコットのトリック

  6.5 集合の濃度の定式化

  6.6 収集原理

  6.7 モストフスキー潰し

  6.8 推移的な構造の間の同型写像

  6.9 まとめ

第7章 集合論のモデル

  7.1 イントロダクション

  7.2 おさらい

  7.3 三つの出来事

  7.4 証明とはなにか?

  7.5 証明不可能性と集合論のモデル

  7.6 集合論のモデルの例

  7.7 三つの出来事で登場する集合論のモデル

  7.8 まとめ

第8章 選択公理と論理式の絶対性

  8.1 イントロダクション

  8.2 おさらい

  8.3 論理式の絶対性

  8.4 関数・定数の絶対性

  8.5 ゲーデルのLと絶対性

  8.6 選択公理と絶対性

  8.7 選択公理を仮定しないことと選択公理を使わないことの違い

  8.8 まとめ

第9章 反映原理

  9.1 イントロダクション

  9.2 おさらい

  9.3 二つの集合論のモデルが‘似ている'とはどういうことか

  9.4 反映原理

  9.5 タルスキ-ヴォートの判定法

  9.6 反映原理の証明

  9.7 ZFCの有限公理化不可能性について

  9.8 集合全体のクラスVに‘似ている'可算な集合たち

  9.9 可算で推移的な集合論のモデルたち

第10章 従属選択公理

  10.1 イントロダクション

  10.2 おさらい

  10.3 従属選択公理とその使い方

  10.4 選択公理と従属選択公理

  10.5 従属選択公理と可算選択公理

  10.6 可算選択公理と可算無限部分集合

  10.7 従属選択公理と同値な数学の命題

  10.8 従属選択公理を強めた公理

  10.9 まとめ

第11章 ゲーデルの不完全性定理と公理系の無矛盾性

  11.1 イントロダクション

  11.2 おはなしの前に

  11.3 おさらい

  11.4 記号の世界と公理系の中の世界

  11.5 記号の世界の算術化

  11.6 記号の世界での議論の形式化

  11.7 ゲーデルの第二不完全性定理

  11.8 ゲーデルの第二不完全性定理と集合論の公理系

  11.9 まとめ

第12章 巨大基数と公理系の無矛盾性

  12.1 イントロダクション

  12.2 おさらい

  12.3 巨大基数とは?

  12.4 測度の問題と可測基数

  12.5 可測基数と初等埋め込み

  12.6 とても「強い」巨大基数

  12.7 巨大基数公理と公理系の無矛盾性

  12.8 まとめ

第13章 フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか?

  13.1 イントロダクション

  13.2 おはなしの前に

  13.3 おさらい

  13.4 グロタンディーク宇宙

  13.5 グロタンディーク宇宙と到達不可能基数

  13.6 グロタンディーク宇宙の存在と選択公理の違い

  13.7 グロタンディーク宇宙とSGA

  13.8 フェルマーの最終定理と証明支援系

付録 集合論の公理系ZFC

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