目次

第1章 Hamilton-Jacobi方程式に対する粘性解入門

  1.1 序論

  1.2 1階Hamilton-Jacobi方程式に対する粘性消滅法

  1.3 粘性消滅法による粘性解の存在

  1.4 粘性解の整合性と安定性

  1.5 定常問題に対する比較原理と一意性の結果

  1.6 Cauchy問題に対する比較原理と一意性の結果

  1.7 古典的なBernstein法入門

  1.8 Perronの方法入門

  1.9 Perronの方法を用いたCauchy問題のLipschitz評価

第2章 凸型ハミルトニアンをもつ1階Hamilton-Jacobi方程式

  2.1 最適制御理論入門

  2.2 動的計画原理

  2.3 値関数に対する定常Hamilton-Jacobi方程式

  2.4 Legendre変換

  2.5 ラグランジアンの視点から見た最適制御公式

  2.6 1階凸型Hamilton-Jacobi方程式のさらなる隠された構造

  2.7 最大劣解とその表現公式

  2.8 文献

第3章 非凸型ハミルトニアンをもつ1階Hamilton-Jacobi方程式

  3.1 二人零和微分ゲーム入門

  3.2 Hamilton-Jacobi方程式の解の表現公式

  3.3 Hopfの公式

  3.4 差分近似

  3.5 文献

第4章 Hamilton-Jacobi方程式に対する周期的均質化理論

  4.1 周期的均質化理論入門

  4.2 定常Hamilton-Jacobi方程式のセル問題と周期的均質化

  4.3 Cauchy問題の周期的均質化

  4.4 有効ハミルトニアンの初等的な性質

  4.5 凸型の設定の下での有効ハミルトニアンのさらなる性質

  4.6 非凸型の設定の下での有効ハミルトニアンの表現公式

  4.7 収束率

  4.8 セル問題の解の非一意性

  4.9 文献

第5章 Hamilton-Jacobi方程式に対する概周期的均質化理論

  5.1 概周期的均質化理論入門

  5.2 ディスカウント消滅問題と有効ハミルトニアンの確定

  5.3 劣線形コレクターの非存在

  5.4 Cauchy問題に対する均質化

  5.5 有効ハミルトニアンの性質

  5.6 文献

第6章 トーラス上における1階凸型Hamilton-Jacobi方程式

  6.1 ディスカウント問題の解に対する新しい表現公式

  6.2 有効ハミルトニアンに対する新しい表現公式とその応用

  6.3 セル問題,逆向き特性曲線とその応用

  6.4 周期的均質化理論における収束率の最良評価

  6.5 Lipschitz連続な粘性劣解の同値な特徴付け

  6.6 文献

第7章 弱KAM理論入門

  7.1 序論

  7.2 弱KAM理論におけるラグランジアンによる方法

  7.3 Mather測度とMather集合

  7.4 弱KAM理論における非線形偏微分方程式による方法

  7.5 射影Aubry集合

  7.6 文献

第8章 凸型の設定の下での有効ハミルトニアンのさらなる性質

  8.1 ある方向に関しての有効ハミルトニアンの狭義凸性

  8.2 無限遠点における漸近展開

  8.3 古典的なHedlundの例

  8.4 古典的なHedlundの例のある一般化

  8.5 文献

付録A 表記法

  A.1 集合と空間の記号

  A.2 関数の記号

  A.3 関数空間に関する記号

  A.4 評価に関する記号

付録B Sionのミニマックス定理

付録C Legendre変換の特徴付け

  C.1 準備

  C.2 アフィン関数とデルタ型関数

付録D 作用汎関数に対する最小化経路の存在と正則性

  D.1 最小化経路の存在

  D.2 最小化経路の正則性

付録E 境界値問題

  E.1 状態拘束問題

  E.2 Dirichlet問題

  E.3 Neumann問題

付録F supたたみ込み

付録G 定理6.26の証明の概略

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